Son aquellas que no tienen forma, porque en realidad todo tiene una forma, pero esto se refiere que no tiene una forma conocida, es una figura o curva de muchos lados distintos y deforme.
MEDIDA APROXIMADA DE FIGURAS
AMORFAS.
Calcular las áreas de una figura
regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud,
anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado. Sin embargo,
la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que
existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimar esta área. La
integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante. Existen
cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada. Estas
son:
1 Cuando el área está limitada
por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b.
Para estimar el área de tal figura, considere que el área bajo la
curva está compuesto por un gran número de delgadas tiras verticales.
Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dx para
la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x)
El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b
y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras
elementales en toda la región o la zona limitada.
Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior
puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.
2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva
x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función
se muestra a continuación,
Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de
tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dy para la altura y x para
la longitud. El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y)
El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 =
y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras
elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A =
dA = x dy = g(y) dy.
3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se
encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a
hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x =
b, y el eje x es negativo, Pero el valor numérico del área debe ser tomado en
consideración, entonces:
A = | f(x) dx|
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA.
La integración es el proceso
inverso de la diferenciación. La integración nos da la libertad para dirigir en
el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración
indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que
no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está
integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de la
integral definida es la siguiente,
Encima se muestra la integración definida de
algún f(x) dentro del intervalo [a, b]. Es importante que la función dada, la
cual será integrada para algún intervalo sea continua para el intervalo en el
cual se va a integrar. La integral de Riemann es un caso especial de la
integral definida en la cual x es esencialmente un número real. Una integral
definida se representa más comúnmente como,
siempre que este limite exista en el mismo valor para todos las posibles elecciones de los puntos de muestra, si existe decimos que (f) es la integrable [a,b].
SUMA DE REIMANN.
En matemáticas,
la suma de Riemann sirve
para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una
curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Reimann. La suma de Riemann consiste
en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular
el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración
numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
FUNCIÓN PRIMITIVA:
La primitiva se define como cualquier otra función la cual cuando es
diferenciada nos da de nuevo la función original f(x). Esto significa que f(x)
es la derivada de su función primitiva o que la función primitiva es la
integral de la presente función f(x). Por tanto, podemos decir que si F(x) es
la función primitiva de f(x) entonces F(x) + c es también su función primitiva
para los valores distintos de c sin ningún pre-requisito para obtener a c. Aquí
F(x) + c representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos
valores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia.
Geométricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiar
cualquiera de las curvas paralelas a ellos. Existen muchos sinónimos para las
funciones primitivas tales como primitiva integral, anti derivada, etc. Matemáticamente,
para una función valorada real f(x), la cual, para un intervalo abierto (a, b),
es de naturaleza continua, tenemos una función primitiva F(x) la cual es
también una función valorada real derivable para el mismo intervalo abierto (a,
b) y es continua para un intervalo cerrado [a, b].
Esto puede ser representado como,
FUNCIÓN IMPROPIA.
El
concepto de integral definida se refiere a funciones acotadas en intervalos
cerrados [a, b], con a, b ∈ R. Este concepto se puede extender eliminando estas restricciones. Ello da lugar a las
integrales impropias. Llamaremos integral impropia de primera especie aquella
cuyo intervalo de integración es infinito, ya sea de la forma (a,∞), (−∞, b) o
bien (−∞,∞), pero la función esta acotada. Para cada uno de los casos indicados
se define Z ∞ a f(x) dx = l´ım B→∞ Z B a f(x) dx, Z b −∞ f(x) dx = l´ım A→−∞ Z
b A f(x) dx, Z ∞ −∞ f(x) dx = l´ım A→−∞ B→∞ Z B A f(x) dx, 1 y se dice que la
integral impropia correspondiente es convergente si el límite existe y es
finito y divergente en caso contrario. Las siguientes propiedades son análogas
a las correspondientes en las integrales propias (solo consideraremos el caso
del intervalo (a,∞) pues el segundo caso se puede reducir al primero con el
cambio de variable t = −x y el tercer caso es combinación de los dos anteriores
al descomponer la integral en dos sumados).
propiedades:
(1) La convergencia de la
integral no depende del límite de integración real. Es decir, Z ∞ a f(x)dx
converge ⇐⇒ Z ∞ b f(x)dx converge.
(2) Homogénea. Si Z ∞ a f es convergente,
entonces Z ∞ a λf es convergente, para todo λ ∈ R y se
cumple: Z ∞ a λf = λ Z ∞ a f.
(3) Aditiva. Si Z ∞ a f, Z ∞ a g
convergen, entonces Z ∞ a (f + g) converge y además Z ∞ a (f + g) = Z ∞ a f + Z ∞ a g. 110
